Смотреть страницы где упоминается термин распределение экспоненциальное. Равномерное и экспоненциальное распределения Экспоненциальная функция распределения

Экспоненциальное (показательное) распределение

Рассмотрим семейство распределений, широко используемое при принятии управленческих решений и других прикладных исследованиях — семейство экспоненциальных распределений. Проанализируем вероятностную!! модель, приводящую к таким распределениям. Для этого рассмотрим «поток событий», т.е. последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: время безотказной работы компьютерной системы, интервал между последовательными поступлениями автомобилей к стон-линии перекрестка, поток обращений клиентов в отделение банка; поток покупателей, обращающихся за товарами и услугами; поток вызовов на телефонной станции; поток отказов оборудования в технологической цепочке и т.д.

В теории потоков событий справедлива теорема суммировании потоков событий. Суммарный поток состоит из большого количества независимых частных потоков, ни один из которых не оказывает преобладающего влияния на суммарный поток. Так, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, состоит из большого числа независимых потоков вызовов, исходящих от отдельных абонентов. В случае, когда характеристики потоков не зависят от времени, суммарный поток полностью описывается одним числом X —
интенсивностью потока. Для суммарного потока функция распределения случайной величины X —
длины промежутка времени между последовательными событиями имеет следующий вид:

Это распределение называется экспоненциальным (показательным) распределением. В данную функцию иногда вводят параметр сдвига с.

Экспоненциальное распределение имеет только один параметр, который и определяет его характеристики. Плотность распределения имеет следующий вид:

где X —
постоянная положительная величина.

График функции /(х)
представлен на рис. 9.12.

Рис. 9.12.

На рис. 9.13 представлен график плотности экспоненциального распределения при разных параметрах X.

Экспоненциальное распределение характеризует распределение времени между независимыми событиям, появляющимися с постоянной интенсивностью. Экспоненциальный закон характерен для распределения случайных величин, изменение которых обусловлено влиянием какого-то доминирующего фактора. В теории надежности это распределение описывает распределение внезапных отказов, так как последние являются редкими событиями. Экспоненциальное распределение служит также для описания

Рис. 9.13.
Плотность экспоненциального распределения при разных параметрах X

наработки сложных систем, прошедших период приработки, и для описания времени безотказной работы системы с большим числом последовательно соединенных элементов, каждый из которых не оказывает большого влияния на отказ системы.

Теоретические частоты для экспоненциального закона распределения определяют по формуле

где N
— объем совокупности; 1г к
— длина интервала; е
— основание натурального логарифма; X
— условные отклонения середин классов:

Рассмотрим выравнивание эмпирического распределения (табл. 9.4) по экспоненциальному закону.

Таблица 9.4

Эмпирические частоты для выравнивания распределения по экспоненциальному закону

Имеем N =
160; Ь к =
41; х =
54,59. Расчет величин условных отклонений середин классов, вспомогательных величин е
_1 и теоретических частот произведен в табл. 9.5.

Таблица 95

Выравнивание эмпирических частот по экспоненциальному закону

Эмпирические данные, х	Эмпирическая частота, т			Теоретические частоты

Эмпирические и теоретические частоты экспоненциального распределения изобразим графически на рис. 9.14.

Показательное распределение представляет собой частный случай распределения Вейбулла — Гнеденко (соответствующий значению параметра формы b =
1).

Случайная величина имеет равномерное распределение
, если вероятность того, что она принимает любое значение в интервале, ограниченном минимальным числом а
и максимальным числом b
, постоянна. Поскольку график плотности этого распределения имеет вид прямоугольника, равномерное распределение иногда называют прямоугольным (см. панель Б на рис. 1).

Рис. 1. Три непрерывных распределения

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Функция плотности равномерного распределения задается формулой:

где а
— минимальное значение переменной X
, b
— максимальное значение переменной X
.

Математическое ожидание равномерного распределения:

(2) μ = (а +
b
) / 2

Дисперсия равномерного распределения:

(3)
σ
2
= (b
–
a
) 2 / 12

Стандартное отклонение равномерного распределения:

Чаще всего равномерное распределение используется для выбора случайных чисел. При осуществлении простого случайного выбора предполагается, что каждое число извлекается из генеральной совокупности, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1. Вычислим вероятность извлечь случайное число, превышающее 0,1 и меньше 0,3.

График функции плотности равномерного распределения для а = 0 и b = 1 изображен на рис. 2. Общая площадь прямоугольника, ограниченного этой функцией, равна единице. Следовательно, этот график удовлетворяет требованию, согласно которому, площадь фигуры, ограниченной графиком плотности любого распределения, должна равняться единице. Площадь прямоугольника, заключенная между числами 0,1 и 0,3, равна произведению длин его сторон, т.е. 0,2 х 1 = 0,2. Итак, Р(0,1

Рис. 2. График плотности равномерного распределения; вычисление вероятности Р(0,1

Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение равномерного распределения при а = 0 и b = 1 вычисляются следующим образом:

Рассмотрим пример. Предположим, что моменты отказов устройства для контроля за чистотой воздуха равномерно распределены в течение суток.

1. В некий день светлое время суток наступает в 5:55 и заканчиваться в 19:38. Какова вероятность того, что отказ оборудования устройства произойдет в течение светлого времени суток?
2. Допустим, что с 22:00 до 5:00 устройство переходит в режим пониженного энергопотребления. Какова вероятность того, что отказ произойдет в указанный период времени?
3. Предположим, что в состав устройства входит процессор, каждый час осуществляющий проверку работоспособности оборудования. Какова вероятность того, что отказ будет обнаружен не позднее, чем через 10 мин?
4. Предположим, что в состав устройства входит процессор, каждый час осуществляющий проверку работоспособности оборудования. Какова вероятность того, что отказ будет обнаружен не раньше, чем через 40 мин?

Решение. 1. Поскольку в условии задачи сказано, что моменты отказов устройства равномерно распределены в течение суток, вероятность отказа в светлое время суток – есть доля этого времени суток. Р (отказа в светлое время суток) = 19:38 – 5:55 = 57,2%. Вычисления см. приложенный Excel-файл. Если представить разность окончания и начала светлого времени суток в процентном формате, то получим ответ – 57,2%. Хитрость заключается в том, что в Excel сутки – это единица, один час – 1/24, таким образом интервал времени меньше суток будет составлять процентную часть этих суток.

2. Р (отказа с 22:00 до 5:00) = 2:99 + 5:00 = 29,2%.

3. Р (обнаружения отказа не позднее, чем через 10 мин) = 10 / 60 = 16,7%

4. Р (обнаружения отказа не раньше, чем через 40 мин) = (60 – 40) / 60 = 33,3%

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение является непрерывным, имеет положительную асимметрию и изменяется от нуля до плюс бесконечности (см. панель В на рис. 1). Экспоненциальное распределение оказывается весьма полезным в деловых приложениях, особенно при моделировании производства и систем массового обслуживания. Оно широко используется в теории расписаний (очередей) для моделирования промежутков времени между двумя запросами, которые могут представлять собой приход клиента в банк или ресторан быстрого обслуживания, поступление пациента в больницу, а также посещение Web-сайта.

Экспоненциальное распределение зависит только от одного параметра, который обозначается буквой λ
и представляет собой среднее количество запросов, поступающих в систему за единицу времени. Величина 1/λ
равна среднему промежутку времени, прошедшего между двумя последовательными запросами. Например, если в систему в среднем поступает 4 запроса в минуту, т.е. λ
= 4, то среднее время, прошедшее между двумя последовательными запросами, равно 1/λ
= 0,25 мин, или 15 с. Вероятность того, что следующий запрос поступит раньше, чем через X
единиц времени, определяется по формуле (5).

(5) Р (время поступления запроса X
) = 1 –
e
–λ
x

где е
— основание натурального логарифма, равное 2,71828, λ
– среднее количество запросов, поступающих в систему за единицу времени, X
– значение непрерывной величины, 0

Проиллюстрируем применение экспоненциального распределения примером 2. Допустим, что в отделение банка приходят 20 клиентов в час. Предположим, что в банк уже пришел один клиент. Какова вероятность того, что следующий клиент придет в течение 6 мин? В данном случае λ = 20, Х= 0,1 (6 мин = 0,1 ч). Используя формулу (5), получаем:

Р(время прихода второго клиента

Таким образом, вероятность, что следующий клиент придет в течение 6 мин, равна 86,47%. Экспоненциальное распределение можно вычислить с помощью функции Excel =ЭКСП.РАСП() (рис. 3).

Рис. 3. Расчет экспоненциального распределения с помощью функции =ЭКСП.РАСП()

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 379–383

Экспоненциальный закон распределения
называемый также основным законом надежности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы
еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами.
Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность.
Экспоненциальное распределение находит довольно широкое применение в теории массового обслуживания, описывает распределение наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радиоэлектронной аппаратуры.

Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вызывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием максимальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлектронной аппаратуры — превышение допустимого тока или температурного режима.

Плотность распределения экспоненциального закона (рис. 1) описывается соотношением

f
(x
) = λe
−λ x
; (3)

функция распределения этого закона — соотношением

F
(x
) = 1− e
−λ x
; (4)

функция надежности

P
(x
) = 1− F
(x
) = e
−λ x
; (5)

математическое ожидание случайной величины Х

дисперсия случайной величины Х

(7)

Экспоненциальный закон в теории надежности нашел широкое применение, так как он прост для практического использования. Почти все задачи, решаемые в теории надежности, при использовании экспоненциального закона оказываются намного проще, чем при использовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том, что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от длительности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.

Риc. 1. График плотности экспоненциального распределения

Пример 2.
По данным эксплуатации генератора установлено, что наработка на отказ подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ=2*10 -5 ч -1 . Найти вероятность безотказной работы за время t
=100 ч. Определить математическое ожидание наработки на отказ.

Р е ш е н и е. Для определения вероятности безотказной работы воспользуемся формулой (5), в соответствии с которой

Математическое ожидание наработки на отказ равно

Определение 2.
Х
имеет показательный (экспоненциальный)
закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

Действительно,

Кривая распределения и график функции распределения приведены ниже:

Для случайной величины, распределенной по показательному закону

Действительно,

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х
, распределенной по показательному закону, находится по формуле

Замечание 1.
Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потоком событий
понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

определяет вероятность отказа
элемента за время длительностью t
. Здесь Т
– длительность времени безотказной работы элемента, λ − интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Функция надежности

определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t
.

Пример 2.
Установлено, что время ремонта магнитофонов есть случайная величина Х
, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт магнитофона потребуется не менее 15 дней, если среднее время ремонта магнитофонов составляет 12 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х
.

Решение.
По условию математическое ожидание =12, откуда параметр и тогда плотность вероятности и функция распределения имеют вид: , (). Искомую вероятность можно найти, используя функцию распределения:

Среднее квадратическое отклонение дней.

Пример 3.
Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону:

для первого элемента ;

для второго ;

для третьего элемента .

Найти вероятности того, что в интервале времени (0;5) ч. откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Решение.
Вероятность отказа первого элемента

Вероятность отказа второго элемента

Вероятность отказа третьего элемента

Искомая вероятность

3. Нормальное распределение.
В теории вероятностей и математической статистике важнейшую роль играет так называемое нормальное или гауссовское распределение. Оно также широко применяется и при решении прикладных задач. Значимость нормального распределения определяется тем, что оно служит хорошим приближением для большого числа наборов случайных величин, получаемых при наблюдениях и экспериментах. Нормальное распределение почти всегда имеет место, когда наблюдаемые случайные величины формируются под влиянием большого числа случайных факторов, ни один из которых существенно не превосходит остальные.

Определение 3.
Непрерывная случайная величина Х
имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса)
с параметрами а
и σ, если ее плотность вероятности имеет вид:

Кривую нормального закона распределения называют нормальной
или кривой Гаусса
.

График функции плотности нормального закона представляет собой колоколообразную кривую, принимающую наибольшее значение в точке и быстро убывающую при .

Докажем, что . Действительно

Используя несобственные двойные интегралы можно доказать, что

Этот интеграл называется интегралом Пуассона. Подставив этот результат в последнее выражение, получим .

Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, и вероятности ее попадания на некоторый промежуток связана с тем, что интеграл от функции (15) не берется в элементарных функциях. Поэтому ее выражают через функцию Лапласа (интеграл вероятностей), для которой составлены таблицы.

Найдем функцию распределения случайной величины Х
, распределенной по нормальному закону:

Так как (подынтегральная функция четная).

Таким образом,

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,

Выясним как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров a
иσ. Если и меняется параметр a
– центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы.

Если и меняется параметр – разброс значений случайной величины от центра симметрии распределения, то при увеличении уменьшается, но т.к. площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной 1, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси Ox.
При уменьшении увеличивается и нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков.

В соответствии со свойством функции распределения, вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х
в интервал определяется формулой

4. Вероятность заданного отклонения для нормального распределения.
Вероятность того, что отклонение случайной величины Х
, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а
не превысит величину (по абсолютной величине), равна

«Правило трех сигм»:

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , т.е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале :

Отклонение по абсолютной величине нормально распределенной СВ X
больше, чем на , является событием практически невозможным, т.к. его вероятность весьма мала:

Т.к. кривая Гаусса симметрична относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии нормального распределения . Эксцесс нормального распределения Е
=0 и крутость других распределений определяется по отношению к нормальному.

Замечание 2.
Случайная величина, имеющая нормальное распределения с параметрами и , называется стандартной (нормированной) нормальной случайной величиной, а ее распределение – стандартным (нормированным) нормальным распределением.

Плотность и функция стандартного нормального распределения даются формулами:

Пример 4.
Определить закон распределения случайной величины Х
, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией:

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х
.

Решение.
Сравнивая данную функцию с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х
распределена по нормальному закону с параметрами а
= 1 и .и, следовательно, .

Пример 7.
Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение – 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.

Решение.
Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу (180;170):

Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интервалу (170; 180): . Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см равна: .

Непрерывная случайная величина имеет показательный

(экспоненциальный

) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид
:

(12.1)

Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром
. Найдем интегральную функцию показательного распределения:

(12.3)

Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()

Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

Т.к. , то остается вычислить :

Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

(12.7)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

Пример 1.
Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

Решение
. а) Плотность распределения имеет вид:

б) Соответствующая интегральная функция равна:

Пример 2.
Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

Решение
. Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того «простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа
за время длительностью определяется интегральной функцией:

. (12.8)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

Функцией надежности
называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью
.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

. (12.10)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

. (12.11)

Пример 3.
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

Решение
. В нашем примере , тогда воспользуемся (12.11):

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени
(при заданной интенсивности отказов
).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

(12.13)

Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем».

Элементы комбинаторики

Пространство элементарных событий. Случайные события.

Вероятность

Современное понятие вероятности

Классическая вероятностная схема

Геометрические вероятности

Закон сложения вероятностей

Теорема умножения вероятностей

Формула полной вероятности

Теорема гипотез. Формула Байеса.

Повторение испытаний. Схема Бернулли.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Случайные величины

Функции распределения

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Основные свойства плотности распределения

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Свойства математического ожидания

Моменты случайной величины

Свойства дисперсии

Асимметрии и эксцесс

Многомерные случайные величины

Свойства двумерной функции распределения

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Задача Бюффона

Условная плотность распределения

Числовые характеристики системы случайных величин

Свойства коэффициента корреляции

Нормальный (гауссов) закон распределения

Вероятность попадания на интервал

Свойства нормальной функции распределения

Распределение («хи–квадрат»)

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Числовые характеристики показательного распределения

Функция надежности