Абсолютная сходимость. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды и их сходимость. Примеры Абсолютная или условная сходимость ряда
Ряд
Пусть задан ряд
∑
a
n
{displaystyle sum a_{n}}
и
α
=
lim
¯
n
→
∞
|
a
n
|
n
{displaystyle alpha =varlimsup _{nto infty }{sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}
. Тогда
Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями
lim
¯
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
{displaystyle varlimsup _{nto infty }left|{frac {a_{n+1}}{a_{n}}}right|}
и
α
{displaystyle alpha }
соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.
Признак Коши сильнее признака Даламбера в том смысле, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов; существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.
Интегральный признак Коши - Маклорена
Пусть задан ряд
∑
n
=
1
∞
a
n
,
a
n
⩾
0
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n},a_{n}geqslant 0}
и функция
f
(x)
:
R
→
R
{displaystyle f(x):mathbb {R} to mathbb {R} }
такая, что:
Тогда ряд
∑
n
=
1
∞
a
n
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}
и интеграл
∫
1
∞
f
(x)
d
x
{displaystyle int limits _{1}^{infty }f(x)dx}
сходятся или расходятся одновременно, причем
∀
k
⩾
1
∑
n
=
k
∞
a
n
⩾
∫
k
∞
f
(x)
d
x
⩾
∑
n
=
k
+
1
∞
a
n
{displaystyle forall kgeqslant 1 sum _{n=k}^{infty }a_{n}geqslant int limits _{k}^{infty }f(x)dxgeqslant sum _{n=k+1}^{infty }a_{n}}
Признак Раабе
Пусть задан ряд
∑
a
n
{displaystyle sum a_{n}}
,
a
n
>
0
{displaystyle a_{n}>0}
и
R
n
=
n
(a
n
a
n
+
1
−
1)
{displaystyle R_{n}=nleft({frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1right)}
.
Признак Раабе основан на сравнении с обобщенным гармоническим рядом
Действия над рядами
Примеры
Рассмотрим ряд
1
2
+
1
3
+
1
2
2
+
1
3
2
+
1
2
3
+
.
.
.
{displaystyle {frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+{frac {1}{2^{3}}}+…}
. Для этого ряда:
Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.
Рассмотрим ряд
∑
n
=
1
∞
2
n
−
(−
1)
n
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }2^{n-(-1)^{n}}}
Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.
Ряд
∑
n
=
1
∞
1
n
α
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{alpha }}}}
сходится при
α
>
1
{displaystyle alpha >1}
и расходится при
α
⩽
1
{displaystyle alpha leqslant 1}
, однако:
Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.
Ряд
∑
n
=
1
∞
(−
1)
n
n
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n}}}
сходится условно по признаку Лейбница , но не абсолютно, так как гармонический ряд
∑
n
=
1
∞
|
(−
1)
n
n
|
=
∑
n
=
1
∞
1
n
{displaystyle sum _{n=1}^{infty }left|{frac {(-1)^{n}}{n}}right|=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}}
расходится.
, неограничена в левой окрестности точки
b
{displaystyle b}
.
Несобственный интеграл второго рода
∫
a
b
f
(x)
d
x
{displaystyle int limits _{a}^{b}f(x)dx}
называется абсолютно сходящимся
, если сходится интеграл
∫
a
b
|
f
(x)
|
d
x
{displaystyle int limits _{a}^{b}|f(x)|dx}
.
Определение 1
Числовой ряд $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $, члены которого имеют произвольные знаки (+), (?), называется знакопеременным рядом.
Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд $1-frac{1}{2} -frac{1}{3} +frac{1}{4} +frac{1}{5} -frac{1}{6} -frac{1}{7} +ldots — $ знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.
Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (-) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.
Определение 2
Если числовой ряд $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $ сходится и его сумма равна S,а частичная сумма равна $S_n$ , то $r_{n} =S-S_{n} $ называется остатком ряда, причём $mathop{lim }limits_{nto infty } r_{n} =mathop{lim }limits_{nto infty } (S-S_{n})=S-S=0$, т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Определение 3
Ряд $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов $sum limits _{n=1}^{infty }left|u_{n} right| $.
Определение 4
Если числовой ряд $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $ сходится, а ряд $sum limits _{n=1}^{infty }left|u_{n} right| $, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов)
Знакопеременный ряд $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $ сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов$sum limits _{n=1}^{infty }left|u_{n} right| $.
Замечание
Теорема 1 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов . Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $ сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей $sum limits _{n=1}^{infty }left|u_{n} right| $ (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд $1-frac{1}{2} +frac{1}{3} -frac{1}{4} +…=sum limits _{n=1}^{infty }frac{(-1)^{n-1} }{n} $ сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, $sum limits _{n=1}^{infty }, frac{1}{n} $ (гармонический ряд) расходится.
Свойство 1
Если ряд $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $ абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если $S»$ — сумма всех его положительных членов, а $S»»$ — сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $ равна $S=S»-S»»$.
Свойство 2
Если ряд $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $ абсолютно сходится и $C={rm const}$, то ряд $sum limits _{n=1}^{infty }Ccdot u_{n} $ также абсолютно сходится.
Свойство 3
Если ряды $sum limits _{n=1}^{infty }u_{n} $ и $sum limits _{n=1}^{infty }v_{n} $ абсолютно сходятся, то ряды $sum limits _{n=1}^{infty }(u_{n} pm v_{n}) $ также абсолютно сходятся.
Свойство 4 (теорема Римана)
Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он расходился.
Пример 1
Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд
[sum limits _{n=1}^{infty }frac{(-1)^{n} cdot 9^{n} }{n!} .]
Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: $frac{(-1)^{n} cdot 9^{n} }{n!} =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $sum limits _{n=1}^{infty }left|u_{n} right| =sum limits _{n=1}^{infty }frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $mathop{lim }limits_{nto infty } frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $mathop{lim }limits_{nto infty } frac{a_{n+1} }{a_{n} } =mathop{lim }limits_{nto infty } frac{9^{n+1} cdot n!}{(n+1)!cdot 9^{n} } =mathop{lim }limits_{nto infty } frac{9^{n} cdot 9cdot n!}{n!cdot (n+1)cdot 9^{n} } =mathop{lim }limits_{nto infty } frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $sum limits _{n=1}^{infty }left|u_{n} right| =sum limits _{n=1}^{infty }frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $sum limits _{n=1}^{infty }frac{(-1)^{n} cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.
Пример 2
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд $sum limits _{n=1}^{infty }frac{(-1)^{n} cdot sqrt{n} }{n+1} $.
- Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим $frac{(-1)^{n} cdot sqrt{n} }{n+1} =u_{n} $ и составим ряд из абсолютных величин $a_{n} =left|u_{n} right|=frac{sqrt{n} }{n+1} $. Получаем ряд $sum limits _{n=1}^{infty }left|u_{n} right| =sum limits _{n=1}^{infty }, frac{sqrt{n} }{n+1} $ с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов. Для сравнения с рядом $sum limits _{n=1}^{infty }a_{n} =sum limits _{n=1}^{infty }, frac{sqrt{n} }{n+1} $ рассмотрим ряд, который имеет вид $sum limits _{n=1}^{infty }, b_{n} =sum limits _{n=1}^{infty }, frac{1}{sqrt{n} } , $. Этот ряд является рядом Дирихле с показателем $p=frac{1}{2}
- Далее исследуем исходный ряд $sum limits _{n=1}^{infty }frac{(-1)^{n} cdot sqrt{n} }{n+1} $ на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница. Условие 1): $u_{n} =(-1)^{n} cdot a_{n} $, где $a_{n} =frac{sqrt{n} }{n+1} >0$, т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию $f(x)=frac{sqrt{x} }{x+1} $, определенную при $xin }